যদি $5x^3-2x^2+x+k=0$ এর একটি উৎপাদক (x - 3) হয়, তাহলে k এর মান কত?

ভাগশেষ ও উৎপাদক উপপাদ্য (Remainder & Factor Theorem)

বহুপদীকে কোনো রাশি দ্বারা ভাগ করলে যে অবশিষ্ট অংশ থাকে তাকে ভাগশেষ বলা হয়। ভাগশেষ ও উৎপাদক উপপাদ্যের মাধ্যমে সহজেই কোনো বহুপদীর ভাগশেষ এবং উৎপাদক নির্ণয় করা যায়।

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem)

যদি কোনো বহুপদী

$f\left(x\right)$

কে

$x-a$

দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে

$f\left(a\right)$

অর্থাৎ,

$\text{ভাগশেষ}=f\left(a\right)$

উদাহরণ

যদি,

$f\left(x\right)=x^2+3x+2$

এবং বহুপদীটিকে

$x-1$

দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে:

$f\left(1\right)=1^2+3\left(1\right)+2=6$

অতএব ভাগশেষ = 6

উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem)

যদি কোনো বহুপদী

$f\left(x\right)$

এর জন্য

$f\left(a\right)=0$

হয়, তবে

$x-a$

হবে বহুপদীটির একটি উৎপাদক।

অর্থাৎ,

$f\left(a\right)=0\Rightarrow (x-a)\text{একটি উৎপাদক}$

উদাহরণ

যদি,

$f\left(x\right)=x^2-5x+6$

তবে,

$f\left(2\right)=2^2-5\left(2\right)+6=0$

অতএব,

$x-2$

হবে বহুপদীটির একটি উৎপাদক।

ভাগ অ্যালগরিদম (Division Algorithm)

যদি কোনো বহুপদী

$f\left(x\right)$

কে

$g\left(x\right)$

দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে

$f\left(x\right)=g\left(x\right)q\left(x\right)+r\left(x\right)$

যেখানে,

• q(x) = ভাগফল
• r(x) = ভাগশেষ
• ভাগশেষের ঘাত ভাজকের ঘাত অপেক্ষা ছোট হবে

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• ভাগশেষ নির্ণয়ে x এর স্থানে a বসানো হয়
• ভাগশেষ শূন্য হলে ভাজকটি উৎপাদক হয়
• উৎপাদক উপপাদ্য ভাগশেষ উপপাদ্যের বিশেষ রূপ
• বহুপদী বিশ্লেষণে এই উপপাদ্য খুব গুরুত্বপূর্ণ

মনে রাখার উপায়

ভাগশেষ = f(a) এবং f(a) = 0 হলে (x − a) হবে উৎপাদক।